Tässä kirjoitussarjassa pyritään kehittämään liike-elämän päätöksentekoa. Päätöksenteko on tutkimusalueena valtavan laaja ja siihen sisältyy formaaleja ja vähemmän formaaleja lähestymistapoja. Rationaalisuus on olennainen käsite päätöksenteossa; päätökset sinänsä eivät ole tärkeitä, vaan nimenomaan rationaaliset päätökset.

Päätöksentekoa voi tutkia monella tavalla – voidaan tutkia sitä, millaisia olisivat rationaaliset päätökset ja tämän lisäksi vielä sitä, ovatko yritysten päätökset yleensä rationaalisia. Empiirinen elementti nostaa kiinnostavasti esiin sen, millaiset tekijät vaikuttavat yritysten todelliseen päätöksentekoon ja kuinka sitä voisi kehittää.

Todennäköisyyspäättely on osa rationaalista päätöksentekoa. Voidaan sanoa, että tilanne on päätöksenteon kannalta suoraviivainen, jos eri vaihtoehtojen seurauksista voidaan laatia todennäköisyysanalyysi. Tällöin tulee enää punnita seurausten haluttavuus suhteessa toisiinsa.

Kuitenkaan edes todennäköisyyspäättely ei aina ole helppoa. Yksinkertaiseltakin ongelmassa voi helposti tulla tehneeksi virheitä ilman rauhallista ja perusteellista pohdintaa. Siten jopa suositukseksi voisi nostaa melkein kaikessa vähänkään merkittävämmässä päätöksenteossa pysähtymisen annetun ongelman ääreen ja ongelman jäsentämisen rauhallisesti ja keskustellen ennen kuin tehdään mitään päätöksiä.

Yksi tunnetuista todennäköisyysongelmista on ns. Monty Hall -ongelma, jota käsiteltiin edellisessä blogissa.

Toinen kuuluisa arvoitus on niin sanottu sisarusongelma. Ongelman nosti keskusteluun ensimmäisen kerran Martin Gardner vuonna 1959 Scientific Americanin kolumnissaan.

Tutkitaan kahden lapsen perheitä. Koska ensimmäisen lapsen sukupuoli ei väestötasolla tarkasteltuna vaikuta toisena syntyvän lapsen sukupuoleen, väestössä suurin piirtein yhtä paljon seuraavia sisaruspareja: poika-tyttö, poika-poika, tyttö-poika, tyttö-tyttö, joissa ensin mainittu viittaa ensimmäisenä syntyneeseen. Tällöin oletuksena on perinteinen binäärinen sukupuolijärjestelmä. Oletus ei realistisesti ottaen pidä paikkansa, mutta nyt tarkastelun kohteena ei ole sex tai gender, vaan todennäköisyyslaskenta.

Oletetaan, että tiedetään jonkin perheen toisen sisaruksen olevan tyttö. Tällöin sisaruspari on joku pareista poika-tyttö, tyttö-tyttö, tyttö-poika.[1] Toinen sisarus on nyt 1/3:n todennäköisyydellä tyttö, sillä kahden tytön sisaruspareja on yksi kolmesta mahdollisuudesta. Toisin sanoen niistä pareista, joissa toinen on tyttö, 1/3:ssa toinenkin on tyttö.[2]

Mutta entä jos tiedetään perheen nuoremman lapsen olevan tyttö? Tällöin mahdolliset sisarusparit ovat tyttö-tyttö ja tyttö-poika, jolloin toinen sisarus on 1/2:n todennäköisyydellä tyttö (koska tyttö-tyttöjä ja tyttö-poikia on yhtä paljon). Tämä johtuu siitä, että tieto sisaren järjestysluvusta poistaa yhden mahdollisuuden, jossa toinen sisarus voisi olla poika, nimittäin sisarusparin poika-tyttö.

Jos yllä olevat tulokset olivatkin yllättäviä, seuraava esimerkki muuttaa tilanteen vielä hankalammaksi mieltää.

Jos talon pihapolulla juoksee vastaan isäntäperheen sisarusparin tyttö, josta et tiedä onko hän nuorempi vai vanhempi sisarus, todennäköisyys sille, että seuraavaksi polkua juokseva lapsi on tyttö, vaikuttaisi yllä olevan perusteella olevan 1/3. Tämä johtuu siitä, että mahdolliset sisarusparit tässä tilanteessa ovat tyttö-tyttö, tyttö-poika ja poika-tyttö, joista vain tyttö-tyttö pari toteuttaa sen, että kaksi lasta on tyttöjä.

Laskelma on kuitenkin väärin. On totta, että todennäköisyys on 1/3 tilanteessa, jossa tiedetään ainakin yhden sisaruksen olevan tyttö, mutta ei tiedetä muuta. Tapahtuman ’ainakin yksi sisarus on tyttö’ todennäköisyys on 3/4. Kuitenkaan pihapolulla ei selvästikään juokse vastaan tyttö 3/4:n todennäköisyydellä. Tämä olisi varsin outoa. Intuition mukaan sekä tytön että pojan todennäköisyys on 1/2.

Intuition mukaan polulla vastaan tuleva tyttö olisi siis epätodennäköisempi tapahtuma kuin ’ainakin toinen sisarus on tyttö’. Onko näin todella ja miksi?

Polulla voi tulla vastaan poika ja silti ainakin toinen sisarus voi olla tyttö. Siksi vain osa niistä tapauksista, joissa ainakin toinen sisarus on tyttö, johtaa siihen, että polulla tulee vastaan tyttö. Täytyy siis tarkastella, millä todennäköisyydellä kunkin sisarusparityypin tapauksessa vastaan tulee tyttö.

Tyyppi 1: poika-poika. Tällöin vastaan ei voi tulla tyttö, tytön todennäköisyys on 0.

Tyyppi 2: poika-tyttö. Tällöin vastaan tulee tyttö todennäköisyydellä 1/2.

Tyyppi 3: tyttö-poika. Tällöin vastaan tulee tyttö todennäköisyydellä 1/2.

Tyyppi 4: tyttö-tyttö. Tällöin vastaan tulee tyttö todennäköisyydellä 1.

Ennen kuin saavutaan pihalle, ei tiedetä laisinkaan, millainen sisaruspari isäntäväellä on. Jokaisella sisarusparityypillä on 1/4:n todennäköisyys. Eli vastaan tulee tyttö todennäköisyydellä 1/4*0+1/4*1/2+1/4*1/2+1/4*1=1/2, mikä vastaa intuitiota.

Isäntäparin sisaruspari voi olla tyyppiä 1-4, ja lisäksi jokaisen sisarusparityypin kohdalla on mahdollista, että pihapolulla tulee vastaan tyttö tai pihapolulla tulee vastaan poika. Mahdolliset ”yhdistelmätilanteet” ovat siis seuraavat:

T1: Tyyppi 1 + poika, todennäköisyys 1/4.

T2: Tyyppi 2 + tyttö, todennäköisyys 1/4*1/2=1/8

T3: Tyyppi 2 + poika, todennäköisyys 1/8.

T4: Tyyppi 3 + tyttö, todennäköisyys 1/8.

T5: Tyyppi 3 + poika, todennäköisyys 1/8.

T6: Tyyppi 4 + tyttö, todennäköisyys 1/4.

Pihapolulla tulee vastaan tyttö tilanteissa T2, T4 ja T6. Näistä tapahtumista T6:n todennäköisyys on yhtä suuri kuin T2+T4:n todennäköisyys, joten T6:n todennäköisyyden täytyy olla 1/2. Toisin sanoen, kun näemme tytön pihapolulla, yhdistelmätilanne on T6 todennäköisyydellä 1/2 eli sisaruspari on tyyppiä tyttö-tyttö todennäköisyydellä 1/2.

Sisarusongelma erilaisine muunnoksineen on herättänyt jonkin verran keskustelua matemaatikkopiireissä. Vaikka todennäköisyyden matematiikka itsessään ei vielä tällä tasolla ole vaikeaa, ongelma (monen muun todennäköisyysongelman ohella) osoittaa, että todellisen maailman tilanteiden tulkitsemisessa ja matemaattisessa formalisoinnissa voidaan helposti tehdä virheitä. Kun esimerkiksi bisneskontekstissa tehdään päätöksiä, huolellisuus todennäköisyyksien arvioinnissa on valttia – puhumattakaan tilanteista, joissa päätöksiä tehdään määrittelemättömien todennäköisyyksien oloissa eli niin sanottujen tuntemattomien tuntemattomien vallitessa.

[1] Eli 3/4 sisaruspareista toteuttaa ehdon ’ainakin toinen sisarus on tyttö’.

[2] Ehdollisen todennäköisyyden kaavoilla ilmaistuna:

P(tyttö-tyttö|ainakin toinen on tyttö)=

P(tyttö-tyttö & ainakin toinen on tyttö) / P(ainakin toinen on tyttö)=1/4 ¸ ¾ = 1/3.